Question

【題目】設函數y= 的圖象上存在兩點P，Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形（其中O為坐標原點），且斜邊的中點恰好在y軸上，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（0， ]
【解析】解：假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，
則點P、Q只能在y軸兩側．
不妨設P（t，f（t））（t＞0），
則Q（﹣t，t3+t2），
∵△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，
∴ =0，
即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）
若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q．
若0＜t＜e，則f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0
即t4﹣t2+1=0，而此方程無解，因此t≥e，此時f（t）=alnt，
代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，
即 =（t+1）lnt（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），
則h′（x）=lnx+1+ ＞0，
∴h（x）在[e，+∞）上單調遞增，
∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，
∴h（t）的取值范圍是[e+1，+∞）．
∴對于0＜a≤ ，方程（**）總有解，即方程（*）總有解．
所以答案是：（0， ]．