Question

【題目】定義實數a，b間的計算法則如下a△b= ．
（1）計算2△（3△1）；
（2）對0＜x＜z＜y的任意實數x，y，z，判斷x△（y△z）與（x△y）△z的大小，并說明理由；
（3）寫出函數y=（1△x）+（2△x），x∈R的解析式，作出該函數的圖象，并寫出該函數單調遞增區間和值域（只需要寫出結果）．

Answer 1

【答案】
（1）解：實數a，b間的計算法則如下a△b= ．

則2△（3△1）=2△3=32=9

（2）解：對0＜x＜z＜y的任意實數x，y，z，

x△（y△z）=x△y=y2，

（x△y）△z=y2△z，

此時若y2≥z，則（x△y）△z=y2；

若y2＜z，則（x△y）△z=z2．

即若y2≥z，則x△（y△z）=（x△y）△z；

若y2＜z，則x△（y△z）＞（x△y）△z

（3）解：當x＞2時，y=（1△x）+（2△x）=x2+x2=2x2；

當1＜x≤2時，y=（1△x）+（2△x）=x2+2；

當x≤1時，y=（1△x）+（2△x）=1+2=3．

即有y= ，

畫出函數y的圖象，如右：

該函數單調遞增區間為（1，2），（2，+∞）；

值域為[3，+∞）．

【解析】（1）先求出3△1，再求出2△（3△1）的值即可；（2）分別求出x△（y△z）和（x△y）△z的值，討論y2與z的大小即可；（3）討論x的大小，分x≥2，x＜1，1≤x＜2，求得函數式，畫出函數圖象，即可得到該函數單調遞增區間和值域．