Question

【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四個結論：
（1）AC⊥BD；
（2）△ACD是等邊三角形
（3）AB與平面BCD所成的角為60°；
（4）AB與CD所成的角為60°．
則正確結論的序號為 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）（4）
【解析】解：取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．
∴BD⊥AC，故（1）正確．
設正方形邊長為a，則AD=DC=a，AE= a=EC．
∴AC=a．
∴△ACD為等邊三角形，故（2）正確．
∠ABD為AB與面BCD所成的角為45°，故（3）不正確．
以E為坐標原點，EC、ED、EA分別為x，y，z軸建立直角坐標系，
則A（0，0， a），B（0，﹣ a，0），D（0， a，0），C（ a，0，0）．
=（0，﹣ a，﹣ a）， =（ a，﹣ a，0）．
cos＜ ， ＞= =
∴＜ ， ＞=60°，故（4）正確．
故答案為：（1），（2），（4）

取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．根據線面垂直的判定及性質可判斷（1）的真假；求出AC長后，可以判斷（2）的真假；求出AB與平面BCD所成的角可判斷（3）的真假；建立空間坐標系，利用向量法，求出AB與CD所成的角，可以判斷（4）的真假；進而得到答案．