Question

【題目】設f（x）=ax3+bx2+cx的極小值為﹣8，其導函數y=f′（x）的圖象經過點 ，如圖所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的圖象經過點（﹣2，0）， ，

∴

∴f（x）=ax3+2ax2﹣4ax，

由圖象可知函數y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調遞減，在 上單調遞增，在 上單調遞減，

由f（x）極小值=f（﹣2）=a（﹣2）3+2a（﹣2）2﹣4a（﹣2）=﹣8，解得a=﹣1

∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x

（2）解：要使對x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，

只需f（x）min≥m2﹣14m即可．

由（1）可知函數y=f（x）在[﹣3，﹣2）上單調遞減，在 上單調遞增，在 上單調遞減

且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣33﹣2×32+4×3=﹣33＜﹣8

∴f（x）min=f（3）=﹣33（11分）﹣33≥m2﹣14m3≤m≤11

故所求的實數m的取值范圍為{m|3≤m≤11}

【解析】（1）求出y=f'（x），因為導函數圖象經過（﹣2，0）和（ ，0），代入即可求出a、b、c之間的關系式，再根據圖象可知函數的單調性，而f（x）極小值為﹣8可得f（﹣2）=﹣8，解出即可得到a、b、c的值；（2）根據函數增減性求出函數在區間[﹣3，3]的最小值大于等于m2﹣14m，即可求出m的范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數的極值與導數，需要了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．