Question

．(本小題滿分12分）
已知函數，是常數）在x=e處的切線方程為，既是函數的零點，又是它的極值點．
(1)求常數a,b,c的值；
(2)若函數在區間(1，3)內不是單調函數，求實數m的取值范圍；
(3)求函數的單調遞減區間，并證明：

Answer 1

(1) ，， (2) (3) , 證明：當時, 即對一切都成立，亦即對一切都成立， 所以，，，…， 所以有，
所以. 

試題分析：（1）由知，的定義域為,,
又在處的切線方程為，所以有
,①
由是函數的零點，得,②
由是函數的極值點，得，③
由①②③，得，，.  
（2）由(1)知，
因此，，所以
.
要使函數在內不是單調函數，則函數在內一定有極值，而
，所以函數最多有兩個極值.
令. 
（ⅰ）當函數在內有一個極值時，在內有且僅有一個根，即
在內有且僅有一個根，又因為，當          ，即時，在內有且僅有一個根
，當時，應有，即，解得，所 以有.  
（ⅱ）當函數在內有兩個極值時，在內有兩個根，即二次函
數在內有兩個不等根，所以

解得.
綜上，實數的取值范圍是.
（3）由，得，
令，得，即的單調遞減區間為.
由函數在上單調遞減可知，
當時, ，即，
亦即對一切都成立，
亦即對一切都成立，
所以，
，
，
…
，
所以有，
所以. 
點評：本題第一問題型基礎簡單，第二問需要分情況討論，對學生有一定的難度，第三問需要借助于單調性求出最值進而轉化為恒成立的不等式，難度大