Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在軸上，長軸長是短軸
長的2倍，且經過點M. 平行于OM的直線在軸上的截距為并交橢
圓C于A、B兩個不同點.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求m的取值范圍； 
（3）求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的總額和運用。
（1）設橢圓C的標準方程為
（＞＞0）
由題意，結合性質得到參數a,b的值
（2）
設：由
聯立方程組，然后根據判別式大于零得到m的范圍。
（3）設，則、為（）式的兩根，
設MA交軸于點P，MB交軸于點Q
      MA的方程為：
令，可得P（）=
同理得到點Q的坐標，然后結合中點公式，得到并證明。
解：（1）設橢圓C的標準方程為
（＞＞0）
由題意
解得
C的方程為             ………………4分
（2）
設：由
消去得 
直線與橢圓有兩個不同的交點
式有兩個不等實根
則＞0
解得＜＜2    又
的取值范圍為         ………………8分
（3）設，則、為（）式的兩根，
設MA交軸于點P，MB交軸于點Q
      MA的方程為：
令，可得P（）=
同理可得Q
設PQ的中點為N，則
由②知
又

MPQ的中線MNPQ
MPQ為等腰三角形                    ………………12分
注：其他正確解法請按步驟酌情給分。