Question

將編號(hào)為1，2，…，9的九個(gè)小球隨機(jī)放置在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每個(gè)等分點(diǎn)上各有一個(gè)小球.設(shè)圓周上所有相鄰兩球號(hào)碼之差的絕對(duì)值之和為S.求使S達(dá)到最小值的放法的概率.（注：如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認(rèn)為是相同的放法）

Answer 1

解析：九個(gè)編號(hào)不同的小球放在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每點(diǎn)放一個(gè)，相當(dāng)于九個(gè)不同元素在圓周上的一個(gè)圓形排列，故共有8！種放法，考慮到翻轉(zhuǎn)因素，則本質(zhì)不同的放法有種.…………5分

    下求使S達(dá)到最小值的放法數(shù)：在圓周上，從1到9有優(yōu)弧與劣弧兩條路徑，對(duì)其中任一條路徑，設(shè)是依次排列于這段弧上的小球號(hào)碼，

    則

    上式取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即每一弧段上的小球編號(hào)都是由1到9遞增排列.

    因此S_最小=2?8=16.…………………………………………………………10分

    由上知，當(dāng)每個(gè)弧段上的球號(hào){1，，9}確定之后，達(dá)到最小值的排序方案便唯一確定.

    在1，2，…，9中，除1與9外，剩下7個(gè)球號(hào)2，3，…，8，將它們分為兩個(gè)子集，元素較少的一個(gè)子集共有種情況，每種情況對(duì)應(yīng)著圓周上使S值達(dá)到最小的唯一排法，即有利事件總數(shù)是2⁶種，故所求概率………………………………20分