Question

（本小題滿分12分） 設、是函數圖象上任意兩點，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若（其中），求；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設（），若不等式＞對任意的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）2；（Ⅱ）．（Ⅲ）.

本試題主要是考查了函數的性質和數列的綜合運用。
（1）因為，通分合并得到結論。
（2）由（Ⅰ）可知，當時，，
由得，，然后倒序相加法得到結論。
（3）由（Ⅱ）得，，不等式即為，運用放縮法得到結論。
（Ⅰ）
．··········· 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當時，，
由得，，
∴，
∴．······························· 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，不等式即為，設，
則 ，
∴，
∴數列是單調遞增數列，∴，··············· 10分
要使不等式恒成立，只需，即，
∴或解得.
故使不等式對于任意正整數n恒成立的的取值范圍是.········ 12分