Question

【題目】已知函數．

（1）若在處取得極小值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）求證：當時，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求函數的導數，根據求出的值，但需要驗證；（2）需要分類討論，根據導數求出函數的最小值；（3）由（2）可得，利用裂項求和證明即可.

試題解析：（1）∵的定義域為，，

∵在處取得極小值，∴，即，此時，經驗證是的極小值點，故．

（2）∵，

①當時，，∴在上單調遞減，∴當時，矛盾．

②當時，，令，得；，得．

（i）當，即時，時，，即遞減，∴矛盾．

（ii）當，即時，時，，即遞增，∴滿足題意．

綜上:．

（3）證明：由（2）知令，當時，（當且僅當時取“”）

∴當時，．

即當，有

．