Question

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．

 

 

（1）求橢圓的方程．

（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．

問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0．

　　依題意　解得　

∴　橢圓方程為．　                …………………………………………6分

（2）假若存在這樣的k值，由得．

　　∴　　　　　①        ………………………………8分

　　設，、，，則　　　　　②

　而．      ……………………12分

要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時，則，即  ∴　　　　③            ……………………14分

　　將②式代入③整理解得．經驗證，，使①成立．

綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E．          ……………………16分

【解析】略