Question

(本小題滿(mǎn)分13分)

已知數(shù)列滿(mǎn)足，且對(duì)任意，都有．

(Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

(Ⅱ）試問(wèn)數(shù)列中是否仍是中的項(xiàng)？如果是，請(qǐng)指出是數(shù)列的第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（Ⅲ）令   證明：對(duì)任意.

Answer 1

（本小題滿(mǎn)分13分）

解: （Ⅰ），即，          ……1分

所以，                                              ……. 2分

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．                     ……3分

（II）由（Ⅰ）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以．…… 4分

                          _…….5分

．                              …… 7分

因?yàn)?sub>，                           …… 8分

當(dāng)時(shí)，一定是正整數(shù)，所以是正整數(shù)．

(也可以從k的奇偶性來(lái)分析)                                       

所以是數(shù)列中的項(xiàng)，是第項(xiàng)．                 …… 9分

(Ⅲ)證明：由（2）知：， …..10分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意。

(1)當(dāng)時(shí)，顯然，不等式成立.                                 …..11分

(2)假設(shè)當(dāng)

當(dāng)

_….12分

即有：也成立。

綜合(i)(ii)知：對(duì)任意               ……13分