Question

設p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，q：實數x滿足|x-3|＜1．
（1）若a=1，且p∪q為真，p∩q為假，求實數x的取值范圍；
（2）若a＞0，且p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（1）首先求出不等式的解集，進一步利用真值表求出結果，注意分類討論的應用．
（2）首先求出各個不等式的解集，進一步利用四種條件求出結果．

解答： 解：（1）p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，
所以：當a=1時，解得：1＜x＜3
q：實數x滿足|x-3|＜1．
解得：2＜x＜4
p∪q為真，p∩q為假，
則：①p真q假
p為真時，1＜x＜3
q為假時，x≤2或x≥4
所以解得：2≤x＜3
②p假q真
p為假時，x≤1或x≥3
q為真時，2＜x＜4
所以解得：3≤x＜4
綜上所述：2≤x＜4
所以x的取值范圍為：2≤x＜4
（2）命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，a＞0
所以解得：a＜x＜3a
命題q：實數x滿足|x-3|＜1．
解得：2＜x＜4
p是q的必要不充分條件，
所以：

a≤2 3a≥4

解得：

4

3

≤a≤2
所以a的取值范圍為：

4

3

≤a≤2

點評：本題考查的知識要點：命題中真值表的應用，命題中四種條件的應用．屬于基礎題型．