Question

【題目】已知橢園C： +=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2.且橢圓C過點(，-)，離心率e=;點P在橢圓C 上，延長PF1與橢圓C交于點Q,點R是PF2中點.

(I )求橢圓C的方程;

(II )若O是坐標原點，記△QF1O與△PF1R的面積之和為S,求S的最大值。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）將點坐標代人橢圓方程，結合離心率解方程組可得a=2,b=,c=1.（2）先根據三角形中位線性質得OR∥PF1.轉化S為S△PQO.設直線PQ方程，與橢圓方程聯立方程組，利用韋達定理解得|y1-y2|,根據二次函數求最值，即得S的最大值.

試題解析：解:(I)依題意, =1,則,解得a =2,b=,c=1.

故橢圓C的方程為；.

(Ⅱ)由O,R分別為F1F2,PF2的中點,故OR∥PF1.

故△PF1R與△PF1O同底等高,故S△PF1R=S△PF10,S=S△QF1O+S△PF1E=S△PQO.

當直線PQ的斜率不存在時,其方程為x=-1,此時S△PQO=×1×[-(-)]=

當直線PQ的斜率存在時,設其方程為:y=k(x+1),設P(x1,y1),Q(x2,y2),

顯然直線PQ不與x軸重合,即k≠0;

聯立解得(3+4k)x+8kx+4k-12=0,.

A=144(k2+1)>0,故.

故|PQ|=|x1-x2|= =，

點O到直線PQ的距離d=，.

S=|PQ|d=6,令a=3+4k∈(3,+∞),

故，.

故S的最大值為.