Question

【題目】試研究，一個三角形能否同時具有以下兩個性質：（1）三邊是連續的三個自然數；（2）最大角是最小角的2倍.若能，請求出這個三角形的三邊以及最大角的余弦值；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】4，5，6；最大角的余弦值為．

【解析】

設三角形的三邊分別為，，，對應的角分別為，則，由正弦定理及二倍角的正弦公式可得，又由余弦定理得，則，解出方程即可求出三邊，再根據余弦定理即可求出最大角的余弦值．

解：設三角形的三邊分別為，，，對應的角分別為，

則，由題意可得，

由正弦定理可得，

∴，

又由余弦定理可得，

∴，化簡可得，解得，或（舍去），

∴三角形的三邊分別為4，5，6，

∴三角形的最大角的余弦值，

綜上：存在三角形的三邊分別為4，5，6滿足題意，最大角的余弦值為．