Question

【題目】已知函數，.

（1）求證：存在唯一的實數，使得直線與曲線相切；

（2）若，，求證：.

（注：為自然對數的底數.）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）曲線在處的切線為，所以只需證明有唯一解即可.
(2) 要證，即證,設，即，只要證明，然后構造函數，討論單調性，分析函數的最值，即可證明.

證明：（1）由知，在處的切線為，

當該直線為時，可得

所以，所以，

令，則當時，，

所以在單調遞增，

而，，所以存在唯一的實數（），

使得，相應的也是唯一的，

即存在唯一-的實數，使得直線與曲線相切.

（2）要證，即證，

令，對于確定的，是一次函數，只要證明，

注意到對于同一，，所以只要證明

先證明①：記，則，

令，因為，所以，

由此可知在區間遞減，在區間遞增.

又因為，，，

所以，在區間上存在唯一實數，使得.

故在區間，遞減，在區間，遞增.

于是.①得證.

再證明②：記，

當時，利用不等式得，

；

當時，利用不等式（）得

，

于是，

其中二次函數開口向上，對稱軸為，

當時，最小值為，

所以.

綜上，不等式①②均成立.

所以，當，對任意的，總有.