Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB=

1

2

CD=1，∠BAD=90°，△PAD為正三角形，且面PAD丄面ABCD，異面直線PB與AD所成的角的余弦值為

5

5

，E為PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面PCD的距離；
（Ⅲ）求平面PAD與平面PBC相交所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，先證出BE∥AF，繼而可證出BE∥平面PAD
（Ⅱ）先證出AB∥面PCD，將點(diǎn)B到平面PCD的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面PCD的距離，即為AF的長(zhǎng)度．再在△PAD中求解．
 （Ⅲ）延長(zhǎng)CB交DA于H，連接PH，證出∠DPC為面PAD與面PBC所成二面角的平面角，在直角△PCD中求解．

解答：解：（Ⅰ）  證明：如圖                                                                               

取PD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，由E為PC的中點(diǎn)知：EF∥CD，EF=

1

2

CD，
又AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以四邊形ABEF為平行四邊形，所以  BE∥AF，又BE?面PAD，AF?面PAD，∴BE∥平面PAD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AF⊥PD，面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD
∴CD⊥面PAD，又AF?面PAD
∴AF⊥CD，且PD∩CD=D
∴AF⊥面PCD
又AB∥CD，∴AB∥面PCD，∴點(diǎn)A到平面PCD的距離AF等于點(diǎn)B到平面PCD的距 離．                                                                              
取CD的中點(diǎn)G，連接BG，PG由題意知四邊形ABCD為矩形，∴∠PBC為異面直線所成的角或其補(bǔ)角．
設(shè)正△PAD的邊長(zhǎng)為a，則在△PBG中易知PB=PG=

a2+1

，BG=a，
∴∠PBG為銳角，由題意得

a2+a2+ 1-a2-1

2a a2+1

=

5

5

，
解得a=2，∴AF=

3

即點(diǎn)B到平面PCD的距離為

3

．
（Ⅲ） 延長(zhǎng)CB交DA于H，連接PH，如圖

∵AB∥CD，AB=CD=1，PA=AD=2
∴HA=AD=AP
∴DP⊥H，P又CD⊥面PAD
∴PD 為PC在PAD內(nèi)的射影
∴PC⊥HP
∴∠DPC為面PAD與面PBC所成二面角的平面角
在直角△PCD中，tan∠DPC=

CD

DP

=1
∴∠DPC=45°即平面PAD與平面PBC相交所成的銳二面角的大小為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面位置關(guān)系、點(diǎn)面距的計(jì)算、線面角的度量，考查分析解決問題、空間想象、轉(zhuǎn)化、計(jì)算的能力與方程思想．