Question

【題目】設函數 的定義域為 ，值域為 ，如果存在函數 ，使得函數 的值域仍是 ，那么稱 是函數 的一個等值域變換.
（1）判斷下列函數 是不是函數 的一個等值域變換？說明你的理由；
① ；
② .
（2）設 的定義域為 ，已知 是 的一個等值域變換，且函數 的定義域為 ，求實數 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：① ，x>0，值域為R ，
,t>0,由g(t)2可得y=f[g(t)]的值域為[1,+∞).
則x=g(t)不是函數y=f(x)的一個等值域變換；
② ，即 的值域為 ，
當 時， ，即 的值域仍為 ，所以 是 的一個等值域變換，故①不是等值域變換，②是等值域變換；
（2）解： 定義域為 ，因為 是 的一個等值域變換，且函數 的定義域為 ， 的值域為 ，
，
恒有 ，解得 .
【解析】（1）在①中，函數 f ( x )的值域為R，函數y=f[g(t)]的值域為[1,+∞).所以①不是一個等值域變換。在②中f ( x ) 的值域為 [ , + ∞ )，y = f [ g ( t ) ] 的值域仍為 [, , + ∞ )，所以①不是等值域變換，②是等值域變換。
（2）由題意可以得x = g ( t ) = , t ∈ R 的值域為 [ 2 , 8 ],通過2≤≤8 2 ( t 2 + 1 ) ≤ m t 2 3 t + n ≤ 8 ( t 2 + 1 )，可以求出m、n的值。
【考點精析】利用函數的定義域及其求法和函數的值域對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．