Question

【題目】已知長方形 ， ， ，以 的中點 為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系 .

（1）求以 為焦點，且過 兩點的橢圓的標準方程；
（2）在(1)的條件下，過點 作直線 與橢圓交于不同的兩點 ，設 ，點 坐標為 ，若 ，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得點 的坐標分別為 ， ， .設橢圓的標準方程是 ，則 ，∴ .∴ ，∴橢圓的標準方程為 .

（2）解：由題意容易驗證直線 的斜率不為0，故可設直線 的方程為 .代入 中，得 .設 ， ，由根與系數關系，得 ①， ②，∵ ，∴ 且 ，將上式①的平方除以②，得 ，即 ，所以 ，由 ，即 .∵ ， ， ，又 ， .故 .令 ，∵ ，∴ ， ， ，∵ ，∴ ，

【解析】（1）根據題意寫出點 E , F , C 的坐標，再結合橢圓的定義求出橢圓的長半軸長a，利用待定系數法寫出橢圓方程.
（2）設出直線l的方程代入橢圓方程，結合根與系數關系找到與A、B點坐標之間的關系，再把用直線方程中的參數表示出來，化歸為函數的最值問題求解.
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．