Question

【題目】已知雙曲線，不與軸垂直的直線與雙曲線右支交于點，，（在軸上方，在軸下方），與雙曲線漸近線交于點，（在軸上方），為坐標原點，下列選項中正確的為（ ）

A.恒成立

B.若，則

C.面積的最小值為1

D.對每一個確定的，若，則的面積為定值

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

對于A選項，設直線方程為，分別與雙曲線方程以及雙曲線的漸近線方程聯立，求出中點坐標，并判斷是否相等即可；對于B選項，由，得到，結合A選項的結果，即可判斷選項B是否正確；對于C選項，設直線方程為，，直線分別與漸近線方程聯立，求出坐標，進而求出的面積，根據的范圍，求出的面積的范圍即可；對于D選項，由已知可得，利用選項A的方程，得到關系，求出的面積即可.

設，代入得，①

顯然，，即，

設，，則，是方程①的兩個根，

有，，

設，，由得，

由，得；

所以，所以和的中點重合，

所以，所以恒成立．故A正確．

因為和的中點重合為，所以，

又，所以，

所以，故B正確．

設直線方程為，，

由得，由得，

，，，

，故C錯誤.

因為，所以，得

，即，

所以，，又，，，

所以是定值．故D正確．

故選：ABD.