Question

【題目】已知函數，，、.

（1）若，且函數的圖象是函數圖象的一條切線，求實數的值；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若對任意實數，函數在上總有零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）由得出，由此得出，設切點為，由題意得出，可求出的值；

（2）由參變量分離法得出，構造函數，利用導數分析得出，由此可得出實數的取值范圍；

（3）根據題意，對函數求導可得，對實數分和兩種情況討論，分析函數的單調性，結合零點存在定理可得出實數的取值范圍.

（1）由，得，，

設函數與函數相切于點，則，

由題意可得，解得，因此，；

（2）由題意得，恒成立．

令，，則，

再令，則，令，解得.

故當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

從而，函數在上有最小值，

即有在上恒成立，

所以，函數在上單調遞增，故，所以.

因此，實數的取值范圍是；

（3）由題意可得，其導數.

①當時，對任意的恒成立，則函數在上為增函數，

若函數在上總有零點，則有，解得；

②當時，令，解得.

當時，；當時，.

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

則函數在處取得最小值，即.

（i）當時，即當時，對任意的，，

則函數在區間上單調遞增，

若函數在區間上恒有零點，則，解得；

（ii）當時，即當時，若，則；若，則.

則函數在上單調遞減，在上單調遞增.

，可得.

構造函數，其中，則，

所以，函數在區間上單調遞減，則，.

綜上所述，實數的取值范圍是.