Question

(14分)已知直線L過(guò)拋物線x²=2py(p>0)的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，Q是線段AB的中點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)

(1)若直線L與x軸平行，且直線與拋物線所圍區(qū)域的面積為6，求p的值.

(2)過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作該拋物線的切線，兩切線相交于N點(diǎn)，求證：,

(3)若p是不為1的正整數(shù)，當(dāng),△ABN的面積的取值范圍為時(shí)，求：該拋物線的方程.

Answer 1

解析:(1)由條件得M（0，-），F(xiàn)（0，）把y=代入中得x=-p或p

所以直線與拋物線所圍區(qū)域面積S===

又S=6，所以p=3                                               3分

（2）證：設(shè)直線AB的方程為y=kx+,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

由得，，，

拋物線方程可化為，，所以，，所以

切線NA的方程為：，切線NB的方程為：，

兩方程聯(lián)立得，從而可知N點(diǎn)，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，但縱坐標(biāo)不同，

所以，又，，所以N（pk,）,而M（0，-），

，又，，           8分

（3）解：因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090528/20090528093421024.gif' width=60>==

=，又，，所以k=2或-2

由于，=

，從而，又=

，==

而的取值范圍是，，，而p>0

所以1≤p≤2,又p是不為1的正整數(shù)，所以p=2

故拋物線的方程為x²=4y                                         14分