Question

已知函數f（x）=x²-4x+（2-a）lnx（a∈R，a≠0）．
（1）當a=8時，求函數f（x）的單調區間及極值；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數的導數，得出單調區間．從而求出極小值；（2）先求出函數的導數，通過討論a的取值范圍，從而確定函數的逗逗區間．

解答： 解：（1）依題意得，當a=8時，f（x）=x²-4x-6lnx，
∴f′（x）=2x-4-

6

x

=

2(x+1)(x-3)

x

，
由f′（x）＞0，得（x+1）（x-3）＞0，
解得x＞3或x＜-1．注意到x＞0，
∴函數f（x）的單調遞增區間是（3，+∞）．
由f′（x）＜0，得（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，注意到x＞0，
∴函數f（x）的單調遞減區間是（0，3）．
綜上所述，函數f（x）在x=3處取得極小值，
這個極小值為f（3）=-3-6ln3．
（2）f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，
∴f′（x）=2x-4+

2-a

x

=

2x2-4x+2-a

x

．
設g（x）=2x²-4x+2-a．
①當a≤0時，有△=16-4×2×（2-a）=8a≤0，
此時g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，△=16-4×2×（2-a）=8a＞0，
令f′（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，
解得x＞1+

2a

2

或x＜1-

2a

2

，
令f′（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，
解得1-

2a

2

＜x＜1+

2a

2

．
當0＜a＜2時，1-

2a

2

＞0，
此時函數的單調遞增區間是（0，1-

2a

2

），（1+

2a

2

，+∞）
單調遞減區間是（1-

2a

2

，1+

2a

2

）；
當a≥2時，1-

2a

2

≤0，
函數的單調遞增區間是（1+

2a

2

，+∞），
單調遞減區間是（0，1+

2a

2

）．
綜上可知，當a≤0時，函數在（0，+∞）上單調遞增；
當0＜a＜2時，函數在（0，1-

2a

2

），（1+

2a

2

，+∞）上單調遞增，
在（1-

2a

2

，1+

2a

2

）上單調遞減；
當a≥2時，函數在（1+

2a

2

，+∞）上單調遞增，
在（0，

2a

2

）上單調遞減．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，求函數的極值問題，是一道中檔題．