Question

已知銳角△ABC中，sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

．
（I）求cos2A的值；
（Ⅱ）求證：tanA=2tanB．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,同角三角函數基本關系的運用,兩角和與差的余弦函數

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用同角三角函數間的基本關系求出cos（A+B）的值，cos（A-B）的值，通過cos2A=cos[（A+B）+（A-B）]求解即可．
（Ⅱ）把已知的兩等式分別利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將化簡后的兩等式組成方程組，兩方程相加相減可得出sinAcosB及cosAsinB的值，兩式相除并利用同角三角函數間的基本關系可得到tanA與tanB的關系．

解答： 解：（Ⅰ）銳角△ABC，A+B＞90°，
由sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

，0°＜A-B＜90°
得：cos（A+B）=-

1-sin2(A+B)

=-

4

5

．
cos（A-B）=

1-sin2(A-B)

=

2 6

5

，
cos2A=cos[（A+B）+（A-B）]
=cos（A+B）cos（A-B）-sin（A+B）sin（A-B）
=-

4

5

×

2 6

5

-

3

5

×

1

5

=-

3+8 6

25

．
（Ⅱ）∵sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

，
∴

sinAcosB+cosAsinB= 3 5 …① sinAcosB-cosAsinB= 1 5 …②

，
①+②得：2sinAcosB=

4

5

，即sinAcosB=

2

5

③，
①-②得：2cosAsinB=

2

5

，即cosAsinB=

1

5

④，
③÷④得：

tanA

tanB

=2，
即tanA=2tanB，

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、正切函數公式，同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵，同時注意銳角三角形這個條件．