Question

【題目】如圖，直三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為，為的中點

（1）若，證明：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

(1)本題首先可通過為的中點得出，然后根據三棱柱是直棱柱得出平面以及，再然后由得出，最后根據即可證得平面；

(2)首先可以過點作平面，然后根據線面角的相關性質可知為直線與平面所成的角，最后通過等體積法即可求得以及線面角的正弦值。

(1)因為△是正三角形，為的中點，所以.

因為三棱柱是直棱柱，所以平面，從而

因為四邊形是矩形，且，，

所以,，

因為，，，所以平面。

(2)如圖所示，過點作平面，垂足為，連結，則為直線與平面所成的角，

在中，，所以.

在中，，所以.

因為，所以.

所以，解得.

所以。