Question

【題目】已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和(n∈N*)．

Answer 1

【答案】（1）an＝3n－2，bn＝2n；（2）(3n－4)2n＋2＋16.

【解析】

(1)根據(jù)題意設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，代入已知條件計(jì)算即可.

(2)由數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即可.

解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.

由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2

∴q2＋q－6＝0.

又∵q＞0，解得q＝2.

∴bn＝2n

由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①

由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②

聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.

∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2，{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n.

(2)設(shè)數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為Tn，由a2n＝6n－2，有

Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，

2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1.

上述兩式相減，得

.得Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.

∴數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為(3n－4)2n＋2＋16.