Question

【題目】設定義在實數集上的函數,恒不為0,若存在不等于1的正常數,對于任意實數,等式恒成立,則稱函數為函數.

（1）若函數為函數,求出的值；

（2）設,其中為自然對數的底數,函數.

①比較與的大小；

②判斷函數是否為函數,若是,請證明；若不是,試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①②是函數，證明見解析.

【解析】

（1）根據題意，列出方程，即可求解參數值.

（2）①根據函數單調性定義，比較與的大小關系，進而比較與的大小

②根據題意，列出方程，證明方程有解，令，判斷在上存在零點，即可證明是函數.

（1）因為函數為函數.

所以對任意實數都成立，即，即，

所以或

（2）①因為，所以，即

又因為在R上為增函數，所以

②若是函數.則存在不等于1的正常數，

使等式對一切實數恒成立，即關于的方程有解，

令，則函數在上的圖像是一條不間斷的曲線，

據零點存在性定理，可知關于的方程在上有解，

從而是函數.