Question

選做題：請考生在下列兩題中任選一題作答．若兩題都做，則按做的第一題評閱計分．本題共5分．
（1）（不等式選講）若實數x、y滿足|x|+|y|≤1，則x²-xy+y²的最大值為________．
（2）（坐標系與參數方程）若直線（t為參數）與直線4x+ky=1垂直，則常數k=________．

Answer 1

解：（1）∵|x|+|y|≤1，∴x² +2|xy|+y²≤1．
∵由于 x²-xy+y²≤x² +|xy|+y²≤x² +2|xy|+y²≤1，故 x²-xy+y² 的最大值為1，
當且僅當x=0或 y=0時，x²-xy+y² 有最大值為1，
故答案為 1．
（2）把直線（t為參數）消去參數化為普通方程為 3x+2y-7=0．
由于它和與直線4x+ky=1垂直，故有斜率之積等于-1，即-×（-）=-1，解得k=-6，
故答案為-6．
分析：（1）由條件可得x² +2|xy|+y²≤1，再由x²-xy+y²≤x² +|xy|+y²≤x² +2|xy|+y²≤1，可得 x²-xy+y² 有最大值．
（2）把直線（t為參數）消去參數化為普通方程，根據兩直線垂直，斜率之積等于-1求得k的值．
點評：本題主要考查絕對值不等式的應用，把參數方程化為普通方程的方法，兩直線垂直的性質，屬于中檔題．