Question

如果實數x，y滿足等式（x-2）²+y²=1
（1）求y-x的最大值和最小值．
（2）求x²+（y-1）²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）設z=y-x，當點（x，y）在圓（x-2）²+y²=1上，則此直線與圓相切時，z取最值，根據圓心到直線的距離等于半徑，求得z的值，即為所求．
（2）根據x²+（y-1）²表示點P（x，y）與點A（0，1）間的距離的平方，求出|AC|，再把|AC|加減半徑，即得所求．

解答：解：（1）設z=y-x，當點（x，y）在圓（x-2）²+y²=1上，
使直線z=y-x在y軸上截距最大時，z取得最大值；
使直線z=y-x在y軸上截距最小時，z取得最小值．
則當直線x-y+z=0與圓相切時，z取最值，∵圓心C（2，0），半徑r=1，
故當z取得最值時，有

|2-0+z|

2

=1，解得z=±

2

-2，
故zmax=

2

-2，zmin=-

2

-2．（6分）
（2）∵x²+（y-1）²表示點P（x，y）與點A（0，1）間的距離的平方．
∵|AC|=

5

，∴

x2+(y-1)2

的最小值為

5

-1，最大值為

5

+1，（10分）
∴x²+（y-1）²的最小值為6-2

5

，最大值為6+2

5

．（12分）

點評：本題主要考查點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系，兩點間的距離公式的應用，屬于中檔題．