Question

下列命題中，正確的是（　　）

A．直線a平行于平面α內(nèi)的一條直線b，則a∥α

B．直線a垂直于平面α的斜線b在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b

C．直線a垂直于平面α，直線b是平面α的斜線，則a與b是異面直線

D．若一個(gè)棱錐的所有側(cè)棱與底面所成的角都相等，且所有側(cè)面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐

Answer 1

分析：根據(jù)直線與平面平行的判定定理，得到A項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)三垂線定理，得到B項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)平面的垂線和斜線的定義，通過(guò)舉反例得到C項(xiàng)錯(cuò)誤．最后用線面垂直的性質(zhì)和正多邊形的判定定理，得到D項(xiàng)是正確的．

解答：解：對(duì)于A，若平面α外的直線a平行于平面α內(nèi)的一條直線b，則a∥α
但條件中沒(méi)有直線a?平面α，故a∥α不成立，因此A錯(cuò)；
對(duì)于B，若平面α內(nèi)的直線a垂直于平面α的斜線b在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b
但條件中沒(méi)有直線a?平面α，故a⊥b不成立，因此B錯(cuò)；
對(duì)于C，直線a垂直于平面α，設(shè)垂足為O，若直線b是平面α內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的斜線，
則a與b是相交直線，故C錯(cuò)；
對(duì)于D，棱錐的所有側(cè)棱與底面所成的角都相等，
得到棱錐頂點(diǎn)在底面的射影到底面多邊形各頂點(diǎn)距離相等，
說(shuō)明這個(gè)射影是多邊形的外接圓圓心，
再根據(jù)所有側(cè)面與底面所成的角也相等，
得到棱錐頂點(diǎn)在底面的射影到底面多邊形各邊的距離相等，
說(shuō)明這個(gè)射影是多邊形的內(nèi)切圓圓心，
因此該棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，
得到它是正棱錐，所以D正確．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題以棱錐的結(jié)構(gòu)特征和空間的直線與平面的平行、垂直的位置關(guān)系為例，考查了立體幾何的論證能力和空間想象力，屬于基礎(chǔ)題．