Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點．
（1）如果點A在圓x²+y²=c²（c為橢圓的半焦距）上，且|F₁A|=c，求橢圓的離心率；
（2）若函數y=

2

+logmx，（m＞0且m≠1）的圖象，無論m為何值時恒過定點（b，a），求

F2B

•

F2A

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意判斷出∴△AF₁F₂為一直角三角形，利用勾股定理求得|F₂A|利用橢圓的定義求得|AF₁|+|AF₂|=2a，進而求得a和c的關系，則橢圓的離心率可得．
（2）利用函數的圖象恒過定點，求得a和b，則c可求得，求得橢圓的兩焦點，先看AB⊥x軸時，求得A，B的坐標，進而求得

F2A

和

F2B

的坐標，則

F2A

•

F2B

可求得；再看AB與x軸不垂直，設直線AB的方程，與橢圓的方程聯立消去y，利用判別式求得k的范圍，設出A，B的坐標，進而表示出x₁+x₂和x₁x₂，

F2A

和

F2B

的坐標進而求得

F2A

•

F2B

的表達式，利用k的范圍確定

F2A

•

F2B

的范圍．

解答：解：（1）∵點A在圓x²+y²=c²上，
∴△AF₁F₂為一直角三角形，
∵|F1A|=c，|F1F2|=2c，∴|F2A|=

|F1F2|2-|AF1|2

=

3

c
由橢圓的定義知：|AF₁|+|AF₂|=2a，∴c+

3

c=2a
∴e=

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1
（2）∵函數y=

2

+logmx的圖象恒過點(1，

2

)
∴a=

2

，b=1，c=1，
點F₁（-1，0），F₂（1，0），
①若AB⊥x軸，則A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，
∴

F2A

=(-2，

2

2

)，

F2B

=(-2，-

2

2

)，

F2A

•

F2B

=4-

1

2

=

7

2

②若AB與x軸不垂直，設直線AB的斜率為k，則AB的方程為y=k（x+1）
由

y=k(x+1) x2+2y2-2=0

消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0（*）
∵△=8k²+8＞0，∴方程（*）有兩個不同的實根．
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程（*）的兩個根x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

F2A

=(x1-1，y1)，

F2B

=(x2-1，y2)，

F2A

•

F2B

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2
=(1+k2)

2(k2-1)

1+2k2

+(k2-1)(-

4k2

1+2k2

)+1+k2=

7k2-1

1+2k2

=

7

2

-

9

2(1+2k2)

∵1+2k2≥1，∴0＜

1

1+2k2

≤1，0＜

9

2(1+2k2)

≤

9

2

-1≤

F2A

•

F2B

=

7

2

-

9

2(1+2k2)

＜

7

2

，
由①②知-1≤

F2A

•

F2B

＜

7

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及了橢圓的基本性質，向量的運算，考查了知識的綜合運用和基本的運算能力．