Question

在△ABC中，下列命題中正確的有：

③⑤

①

AB

-

AC

=

BC

；                
②若

AC

•

AB

＞0，則△ABC為銳角三角形；
③O是△ABC所在平面內一定點，動點P滿足

OP

=

0A

+λ(

AB

+

AC

)，λ∈[0，+∞），則動點P一定過△ABC的重心；
④O是△ABC內一定點，且

OA

+

OC

+2

OB

=

0

，則

S△AOC

S△ABC

=

1

3

；
⑤若（

AB

丨 AB 丨

+

AC

丨 AC 丨

）•

BC

=0，且

AB

丨 AB 丨

•

AC

丨 AC 丨

=

1

2

，則△ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析：根據平面向量的有關概念以及平面向量的數量積以及數量積的應用分別進行判斷．

解答：解：①

AB

-

AC

=

CB

．∴①錯誤．
②若

AC

•

AB

＞0，則A為銳角，但無法確定B，C的大小，∴△ABC為銳角三角形不正確，∴②錯誤．
③由動點P滿足

OP

=

0A

+λ(

AB

+

AC

)，得

AP

=λ(

AB

+

AC

)，即Ap過△ABC的中線，∴P過△ABC的重心．∴③正確．
④解：設D為AC中點，連結OD，則OD是△OBC的中線，
∴向量

OD

=

1

2

(

OA

+

OC

)
∵由已知且

OA

+

OC

+2

OB

=

0

得

OB

=-

1

2

(

OA

+

OC

)，
∴向量因

OD

=-

OB

=

BO

，
即B、O、D三點共線，且O為BD的中點
∴△ABD中，AO是BD邊上的中線，可得S_△OAB=S_△OAD．
同理可得△BCD中，S_△OBC=S_△OCD，
∴S_△OAB=S_△OBC=S_△OAD=S_△OCD=S_△OAC
由此可得S_△OAB：S_△OBC：S_△OAC=1：1：2，
∴S_△AOC：S_△ABC=2：4=1：2=

1

2

，∴④錯誤．
⑤由（

AB

丨 AB 丨

+

AC

丨 AC 丨

）•

BC

=0，可知角A的角平分線垂直于BC，
∴AB=AC．
由

AB

丨 AB 丨

•

AC

丨 AC 丨

=

1

2

，可得cosA=

1

2

，解得A=

π

3

，
∴△ABC為等邊三角形，∴⑤正確．
故答案為：③⑤．

點評：本題主要考查平面向量有關概念和數量積的應用，要求熟練掌握數量積的應用，比較綜合．