Question

已知一個口袋中裝有n個紅球（n≥1且n∈N₊）和2個白球，從中有放回連續摸三次，每次摸出2個球，若兩個球顏色不同，則為中獎．
（1）當n=3時，設中獎次數為ζ，求ζ的分布列及期望；
（2）記三次摸球中，恰好兩次中獎概率為P，當n為多少時，P有最大值．

Answer 1

分析：（1）當n=3時，每次摸出兩個球，中獎的概率p=

3×2

C 2 5

=

3

5

，設中獎次數為ζ，則ζ的可能取值為0，1，2，3．分別求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ．
（2）設每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸球（每次摸球后放回）恰有兩次中獎的概率為P（ζ=2）=

C

2 3

•p²•（1-p）=-3p³+3p²，0＜p＜1，由此利用導數性質能求出n為1或2時，P有最大值．

解答：解：（1）當n=3時，每次摸出兩個球，中獎的概率p=

3×2

C 2 5

=

3

5

，
設中獎次數為ζ，則ζ的可能取值為0，1，2，3．
P（ζ=0）=

C

0 3

(

2

5

)3=

8

125

，
P（ζ=1）=

C

1 3

(

3

5

)(

2

5

)2=

36

125

，
P（ζ=2）=

C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

)=

54

125

，
P（ζ=3）=

C

3 3

(

3

5

)3=

27

125

．
∴ζ的分布列為：

ζ	0	1	2	3
P	8 125	36 125	54 125	27 125

Eζ=0×

8

125

+1×

36

125

+2×

54

125

+3×

27

125

=

9

5

．
（2）設每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸球（每次摸球后放回）恰有兩次中獎的概率為：
P（ζ=2）=

C

2 3

•p²•（1-p）=-3p³+3p²，0＜p＜1，
p′=-9p²+6p=-3p（3p-2），
當p∈（0，

2

3

）時，p′＞0；當p∈（

2

3

，1）時，p′＜0．
∴在（0，

2

3

）上，p為增函數；在（

2

3

，1）上，p為減函數．
∴當p=

2

3

時，p取得最大值，
∵p=

4n

(n+1)(n+2)

=

2

3

，即n²-3n-2=0，解得n=1或n=2．
故n為1或2時，P有最大值．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學斯望的求法，解題時要認真審題，解題時要認真審題，注意導數的性質的靈活運用．