Question

點(diǎn)A為兩曲線C₁:+=1和C₂:x²-=1在第二象限的交點(diǎn),B、C為曲線C₁的左、右焦點(diǎn),線段BC上一點(diǎn)P滿足:=+m(+),則實(shí)數(shù)m的值為　　　　.

Answer 1

法一　∵A是曲線C₁與C₂在第二象限的交點(diǎn)如圖所示.

∴由
得點(diǎn)A坐標(biāo)為(-,2).
由+=1知c²=9-6=3,
∴B(-,0),C(,0),
∴=(0,2),=(0,-2),=(2,-2).
=2,
=4.
∴+m（+）=(0,2)+m=(0,2)+m（,-）=（m,2-m）.
設(shè)點(diǎn)P(x,0),則=(x+,0),
由題意得
解得
法二　由橢圓與雙曲線方程可知,C₁、C₂有共同的焦點(diǎn),即B、C.
由橢圓和雙曲線定義有
解得
又|BC|=2,
∴△ABC為直角三角形,且∠BAC=60°.
又由=+m(+)得
-==m(+)(*)
由向量的線性運(yùn)算易知,AP為∠BAC的平分線,
故cos∠BAP=,
即cos 30°=,
∴=.
將(*)式的兩邊平方得:
||²=m²(1+1+2cos 60°)=（）²,
解得m=或m=-(舍去).