Question

【題目】已知函數f（x）=2 ．
（1）求函數f（x）的定義域和值域；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于函數f（x）=2 ，

令t=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4≥﹣4，可得f（x）=g（t）=2t （t≥﹣4）．

由于t的定義域為R，故故函數的定義域為R．

∵t≥﹣4，故f（x）≥2﹣4= ，故f（x）的值域為[ ，+∞）．

（2）解：根據f（x）=g（t）=2t，函數f（x）的單調區間，即函數t的單調區間．

由于函數t=（x﹣1）2﹣4的減區間為（﹣∞，1]，增區間為：[1，+∞），

故函數f（x）的單調遞減區間：（﹣∞，1]，單調遞增區間：[1，+∞）

【解析】（1）令t=x2﹣2x﹣3，f（x）=g（t）=2t （t≥﹣4），利用二次函數的性質求得t的定義域與值域，可得函數f（x）的定義域和值域．（2）函數f（x）的單調區間，即函數t的單調區間，再利用二次函數的性質得出結論．
【考點精析】關于本題考查的函數的定義域及其求法和函數的值域，需要了解求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能得出正確答案．