Question

(本小題滿分13分)

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H為BC的中點，

(Ⅰ)求證：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求證：AC⊥平面EDB;

（Ⅲ）求四面體B—DEF的體積；

Answer 1

【命題意圖】本題考查空間線面平行、線面垂直、面面垂直的判斷與證明，考查體積的計算等基礎知識，同時考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力.

【解題指導】（1）設底面對角線交點為G，則可以通過證明EG∥FH，得∥平面；（2）利用線線、線面的平行與垂直關系，證明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，進而得EG⊥AC，平面；（3）證明BF⊥平面CDEF，得BF為四面體B-DEF的高，進而求體積.

【規律總結】本題是典型的空間幾何問題，圖形不是規則的空間幾何體，所求的結論是線面平行與垂直以及體積，考查平行關系的判斷與性質.解決這類問題，通常利用線線平行證明線面平行，利用線線垂直證明線面垂直，通過求高和底面積求四面體體積.