Question

已知數列{a_n}是由正數組成的等差數列，p，q，r為非零自然數．
證明：（1）若p+q=2r，則

1

a 2 p

+

1

a 2 q

≥

2

a 2 r

；
（2）

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 2n-2

+

1

a 2 2n-1

≥

2n-1

a 2 n

(n＞1)．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公差為d，由p+q=2r，a_p+a_q=2a_r，知

a

2 p

+

a

2 q

≥

1

2

(ap+aq)2=2

a

2 r

．由此能夠證明

1

a 2 p

+

1

a 2 q

≥

2

a 2 r

．
（2）由

1

a 2 i

+

1

a 2 2n-i

≥

2

a 2 n

(i=1，2，3…2n-1)，知

2n-1

i=1

(

1

a 2 i

+

1

a 2 2n-i

)≥

2

a 2 n

(2n-1)．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，
由p+q=2r，
a_p+a_q=2a_r
∴

a

2 p

+

a

2 q

≥

1

2

(ap+aq)2=2

a

2 r

又(apaq)2≤[(

ap+aq

2

)2]2=

a

4 r

∴

1

a 2 p

+

1

a 2 q

≥

2 a 2 r

a 4 r

=

2

a 2 r

且d=0時，“=”成立
（2）由（1）知：

1

a 2 i

+

1

a 2 2n-i

≥

2

a 2 n

(i=1，2，3…2n-1)
∴

2n-1

i=1

(

1

a 2 i

+

1

a 2 2n-i

)≥

2

a 2 n

(2n-1)

點評：本題考查數列與不等式的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．