Question

【題目】如圖，在四棱錐 中， ， ， 是 的中點， 是棱 上的點， ， ， ， .

（1）求證：平面 底面 ；
（2）設 ，若二面角 的平面角的大小為 ，試確定 的值.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AD//BC，BC= ，Q是AD的中點，

∴BC DQ，則四邊形BCDQ為平行四邊形，從而CD//BQ.

∵AD⊥CD，∴QB⊥AD.

∵PA=PD=2，AD=2，Q是AD的中點，∴

又∵QB=CD= ，

∴ ，即PQ⊥QB，又PQ AD=Q，∴BQ⊥平面PAD，∴平面PAD⊥底面ABCD.

（2）

解：∵PA=PD=2，Q是AD的中點，∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD 平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD.如圖，以Q為原點建空間直角坐標系.

則平面BQC的法向量為

設 ，則 ,∵ ,∴

則 ，即 ， ， ，在平面MBQ中， , ，設平面MBQ的法向量為 ，由 ，得 ，取f=t，得 .∴平面MBQ的一個法向量為

∵二面角M-BQ-C的平面角的大小為30°，∴ ，解得t=3.

【解析】本題主要考查空間直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與直線垂直的判定與性質，二面角等基礎知識，考查空間想象能力,推理論證能力,運算求解能力，以及數形結合思想、化歸與轉化思想．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定和平面與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．