Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD= CD=1，如圖2，將△ABD沿BD折起來，使平面ABD⊥平面BCD，設E為AD的中點，F為AC上一點，O為BD的中點．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；、
（Ⅱ）若三棱錐A﹣BEF的體積為 ，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值的絕對值．

Answer 1

【答案】證明：在圖1中，取CD的中點E，連結BE， ∵AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD= CD=1，
∴BE=DE=CE=1，BE⊥CD，
∴∠DBE=∠CBE=45°，
∴BC⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，BC平面BCD，
∴BC⊥平面ABD，∵AO平面ABD，
∴AO⊥BC，
∵AB=AD，O是BD的中點，
∴AO⊥BD，又BD∩BC=B，BD平面BCD，BC平面BCD，
∴AO⊥平面BCD．

（II）解：設F到平面ABD的距離為h，
則VA﹣BEF=VF﹣ABE= = = ，∴h= ．
∴CF= CA．
由（I）可知OE⊥BD，以O為原點，以OD，OE，OA為坐標軸建立空間直角坐標系O﹣xyz，
則A（0，0， ），B（﹣ ，0，0），E（ ，0， ），C（﹣ ， ，0），
∴ =（ ，0， ）， =（0， ，0）， =（ ，﹣ ， ），
∴ = = =（ ， ， ），
設平面BEF的法向量為 =（x，y，z），則 ，
∴ ，令x=1得 =（1， ，﹣3），
∵BC⊥平面ABD，∴ =（0， ，0）是平面ABD的一個法向量，
∴cos＜ ＞= = = ．
∴二面角A﹣BE﹣F的余弦值的絕對值為 ．

【解析】（I）由面面垂直可得BC⊥平面ABD，故而BC⊥AO，結合AO⊥BD即可得出AO⊥平面BCD；（II）根據棱錐的體積得出F的位置，建立空間坐標系，求出兩平面的法向量，則兩法向量的夾角的余弦的絕對值即為所求．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．