Question

【題目】如圖所示，在三棱錐A﹣BCD中，側面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊且AD= ，BD=CD=1，另一側面ABC是正三角形．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）若在線段AC上存在一點E，使ED與平面BCD成30°角，試求二面角A﹣BD﹣E的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）證明：取BC的中點O，連結AO，DO，

∵BD=CD，AB=AC，

∴AO⊥BC，OD⊥BC，又OA∩OD=O，

∴BC⊥平面AOD，

又AD平面AOD，

∴AD⊥BC

（2）解：在平面AOD中，過O作OD的垂線Oz，則OC，OD，Oz兩兩垂直，

以O為原點，以OC，OD，Oz為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

∵BD=CD=1，AD= ，AC⊥CD，AB⊥BD，△ABC是等邊三角形，

∴BC=AB=AC= ，∴OD= BC= ，OA= ，

∴cos∠AOD= =﹣ ，

∴A（0，﹣ ，1），C（ ，0，0），D（0， ，0），

∴ =（﹣ ，﹣ ，1）， =（ ，﹣ ，0），設 =（﹣ λ，﹣ λ，λ），

則 = =（ ﹣ λ，﹣ ﹣ λ，λ），

∵平面BCD的一個法向量為 ，

∵ED與平面BCD成30°角，

∴cos＜ ， ＞= = = ，解得λ= ，

∴ =（ ，﹣ ， ），又B（﹣ ，0，0），

∴ =（ ，﹣ ，1）， =（ ， ，0），

設平面BDE的法向量 =（x，y，z），則 ，即 ，

令y=﹣1則 =（1，﹣1，﹣2），同理可得平面ABD的法向量為 =（1，﹣1，﹣ ），

∴ = = = ，設平面ABD與平面ACD成角為θ，

則 ，

∴ ．

【解析】（1）取BC的中點O，連結AO，DO，由三線合一可得BC⊥OD，BC⊥AO，故而BC⊥平面AOD，于是BC⊥AD；（2）以O為原點建立空間坐標系，根據ED與平面BCD成30°角得出E點坐標，求出平面ABD與平面BDE的法向量，計算法向量的夾角即可得出二面角的大�。�
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．