Question

已知△ABC三個頂點的直角坐標分別為A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）．
（1）若

AB

•

AC

=0，求c的值；     
（2）若c=5，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）根據已知三點的坐標分別表示出

AB

和

AC

，然后利用平面向量數量積的運算法則，根據

AB

•

AC

=0列出關于c的方程，求出方程的解即可得到c的值；
（2）把c的值代入C的坐標即可確定出C，然后利用兩點間的距離公式分別求出|AB|、|AC|及|BC|的長度，由|AB|、|AC|及|BC|的長度，利用余弦定理即可求出cosA的值，然后由A的范圍，利用同角三角函數間的基本關系即可求出sinA的值．

解答：解：（1）由A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）．
得到：

AB

=（-3，-4），

AC

=（c-3，-4），則

AB

•

AC

=-3（c-3）+16=0，解得c=

25

3

；
（2）當c=5時，C（5，0），則|AB|=

32+42

=5，|AC|=

(3-5)2+42

=2

5

，|BC|=5，
根據余弦定理得：cosA=

AB2+AC2-BC2

2ABAC

=

25+20-25

20 5

=

5

5

，
由A∈（0，π），得到sinA=

1-( 5 5 )2

=

2 5

5

．

點評：此題考查學生掌握平面向量數量積的運算法則，靈活運用余弦定理及兩點間的距離公式化簡求值，是一道綜合題．