Question

已知向量

a

=(sinθ，1)，

b

=(1，cosθ)，θ∈(-

π

2

，

π

2

)．
（1）若

a

⊥

b

，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)，利用此結論求|

a

+

b

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，由

a

⊥

b

，可得

a

•

b

=0，由數量積公式可得sinθ+cosθ=0，即tanθ=-1，結合θ的范圍，即可得答案；
（2）由向量模的計算方法，有|

a

+

b

|=

2 2 sin(θ+ π 4 )+3

，由正弦函數的性質，分析可得當sin(θ+

π

4

)=1時，|

a

+

b

|有最大值，即可得答案．

解答：解：（1）由

a

⊥

b

，得

a

•

b

=0，
則有sinθ+cosθ=0，即tanθ=-1，
又由θ∈（-

π

2

，

π

2

）
因此θ=-

π

4

（2）|a+b|=

(sinθ+1)2+(cosθ+1)2

=

2(sinθ+cosθ)+3

=

2 2 sin(θ+ π 4 )+3

．
當sin(θ+

π

4

)=1時，|

a

+

b

|有最大值，
此時θ=

π

4

，|

a

+

b

|的最大值為

2 2 +3

=

2

+1．

點評：本題考查向量數量積的應用，要掌握通過數量積來判斷向量垂直，計算向量的模的方法．