Question

已知向量

a

=(sin(x-

π

4

)，-1)，

b

=(2，2)且f(x)=

a

•

b

+2
①用“五點法”作出函數y=f（x）在長度為一個周期的閉區間的圖象．
②求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
③求函數f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數f（x）的圖象可以由函數y=sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數y=2sin(x-

π

4

)的值域
解：（1）列表
（2）作圖

Answer 1

分析：①利用“五點法”得到五點，列出表格，可畫圖；
②由周期公式可得周期，根據正弦函數的增區間可得結果；
③根據正弦函數的最大值可求；
④根據圖象的平移、伸縮變換規律可得結果；
⑤先由x的范圍得x-

π

4

的范圍，從而可得答案；

解答：解：①f（x）=2sin（x-

π

4

），列表如下：

函數f（x）在一個周期內的圖象如圖所示：

②f（x）的最小正周期為2π，
由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，k∈Z，
∴f（x）的單調增區間為[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z．
③當x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

3π

4

，k∈Z時，f（x）取得最大值為2，
f（x）取得最大值時x的取值集合為：{x|x=2kπ+

3π

4

，k∈Z}．
④先把y=sin2x的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到y=sinx的圖象，
然后把y=sinx的圖象向右平移

π

4

個單位，得到y=sin（x-

π

4

）的圖象，
把y=sin（x-

π

4

）圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的2倍，橫坐標不變，得到f（x）=2sin（x-

π

4

）的圖象；
⑤當x∈[0，π]時，x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
此時函數y=2sin(x-

π

4

)的值域為：[-

2

，2]．

點評：本題考查y=Asin（ωx+φ）的圖象作法、圖象變換及單調性最值，本題綜合性較強，但涉及知識較為基礎，應熟練掌握．