Question

在三棱錐中，,.
(1)  求三棱錐的體積；
(2)  證明:;
(3)  求異面直線SB和AC所成角的余弦值。

Answer 1

（1）
（2）見解析
(3)

∵
∴且,
∴平面------------ ----------------2分
在中， ,
中，
∵,
∴.--------------4分
(2)證法1：由（1）知SA="2," 在中，---6分
∵,∴-------------------8分
證法2：由（1）知平面，∵面，
∴,∵,,∴面
又∵面，∴
(3) 解法1：分別取AB、SA、 BC的中點D、E、F，
連結ED、DF、EF、AF，則,
∴（或其鄰補角）就是異面直線SB和AC所成的角----------10分
∵
在中，
∴,
在中，
在△DEF中，由余弦定理得
∴異面直線SB和AC所成的角的余弦值為-------------------------14分
解法2：以點A為坐標原點，AC所在的直線為y軸建立空間直角坐標系如圖
則可得點A(0,0,0),C(0,1,0),B
∴
設異面直線SB和AC所成的角為
則
∴異面直線SB和AC所成的角的余弦值為。