Question

已知y=f（x）函數的圖象是由y=sinx的圖象經過如下三步變換得到的：
①將y=sinx的圖象整體向左平移個單位；
②將①中的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的；
③將②中的圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍．
（1）求f（x）的周期和對稱軸；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=2，c=1，ab=2，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：將y=sinx向左平移個單位，得到y=sin（x+），縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，變形為y=sin（2x+），橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍，變形為y=2sin（2x+），得到f（x）的解析式，
（1）找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；根據正弦函數的對稱軸為kπ+，k∈Z，列出關于x的方程，求出方程的解得到f（x）的對稱軸；
（2）由f（C）=2，將x=C代入f（x）解析式中，使其值等于2，整理后根據C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值，求出C的度數，利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，利用完全平方公式變形后，將c，cosC及ab的值代入，求出a²+b²=7，與ab=2聯立，根據a大于b，即可求出a與b的值．
解答：解：（Ⅰ）由變換得：f（x）=2sin（2x+），
∵ω=2，
∴T==π；
由2x+=kπ+，k∈Z，得對稱軸為x=+，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=2得：2sin（2C+）=2，即sin（2C+）=1，
又C為三角形內角，
∴2C+=，即C=，
∴cosC=，又c=1，ab=2，
在△ABC中，根據余弦定理，有c²=1=a²+b²-2abcosC=a²+b²-2×2×，
整理得：a²+b²=7，與ab=2聯立，且a＞b，
解得：a=2，b=．
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：余弦定理，三角函數的圖象變換，三角函數的周期性及其求法，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．