Question

已知△ABC中，∠B=

π

3

，cosA+cosC+

2

2

sin（A-C）=0，求角A、角C．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：運用三角形內角和定理，可得A+C，再由和差化簡公式和二倍角正弦公式，化簡整理，注意A，C的范圍，即可求得A，C．

解答： 解：△ABC中，∠B=

π

3

，則A+C=

2π

3

，
由cosA+cosC+

2

2

sin（A-C）=0，
則2cos

A+C

2

cos

A-C

2

+

2

2

×2sin

A-C

2

cos

A-C

2

=0，
即有2cos

A-C

2

（cos

A+C

2

+

2

2

sin

A-C

2

）=0，
即cos

A-C

2

=0或cos

A+C

2

+

2

2

sin

A-C

2

=0，
則

A-C

2

=kπ+

π

2

，k∈Z，由于A，C均介于（0，

2π

3

），
則舍去；
由cos

A+C

2

+

2

2

sin

A-C

2

=0即為sin

A-C

2

=-

2

2

，
由A，C均介于（0，

2π

3

），

A-C

2

∈（-

π

3

，

π

3

）．
則

A-C

2

=-

π

4

，
即A-C=-

π

2

，又A+C=

2π

3

，
解得，A=

π

12

，C=

7π

12

．

點評：本題考查三角函數(shù)的求值，考查和差化積公式和二倍角的正弦公式的運用，考查化簡運算能力，屬于中檔題．