Question

已知函數，，
（1）若函數的兩個極值點為，求函數的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數的圖象過點的切線方程；
（3）對一切恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1） （2）x+y-2=0  （3）  a≥-2

函數的兩個極值點處導數為0 ，g’(x)=3x²+2ax-1帶入即可；
要求函數的圖象過點的切線方程，先求函數在點處的導數即斜率，在用點斜式求出方程；恒成立求實數的取值范圍時，一般分離參數，2a≥2lnx-3x-再在最值處成立即可。
解：（1）g’(x)=3x²+2ax-1由題意：
（2）由（1）可得：g(x)=x³-x²-x+2（1^o）若P為切點，則切線方程為：y=1
2 ^o若P不是切點，設切點Q（x₀，y₀）∴切線方程為y-y₀=(3x₀²-2x₀-1)(x-x₀)
1-(x₀³-x₀²-x₀+2)=(3x₀²-2x₀-1)(1-x₀)    2x₀(x₀-1)²=0    ∴x₀=0   ∴切點（0，2）
∴切線方程：x+y-2=0
（3）2xlnx≤3x²+2ax-1+2    ∴2ax≥2xlnx-3x²-1     ∵x>0   ∴2a≥2lnx-3x-
令ln(x)=2lnx-3x-   
x      （0，1）    1      （1，+∞）
h’(x)      +       0       -
h(x)        ↑     極大值      ↓
∴h(x) ≤h(1)=-4    ∴2a≥-4    a≥-2