Question

設(shè)

a

=（2cosωx，

3

sinωx），

b

=（cosωx，2cosωx）（w＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

的最小正周期為π：
（Ⅰ） 求f（x）的單調(diào)增區(qū)間
（Ⅱ） 在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若f（A）=2，b=1，△ABC的面積為

3

2

，求

b+c

sinB+sinC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用斜率的數(shù)量積已經(jīng)二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用函數(shù)的周期求出ω，通過(guò)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ） 在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，利用f（A）=2結(jié)合（Ⅰ）求出A，通過(guò)b=1，△ABC的面積為

3

2

，求出c，利用余弦定理求出a，通過(guò)正弦定理求

b+c

sinB+sinC

的值．

解答：解（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=（2cosωx，

3

sinωx）•（cosωx，2cosωx）
=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx
=2sin（2ωx+

π

6

）+1．
∴T=

2π

2ω

=π，ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，…（3分）
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

    k∈Z
f（x）的單調(diào)增區(qū)間[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z…．（6分）
（Ⅱ）∵在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，f（A）=2，
∴2sin（2A+

π

6

）+1=2，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，∵b=1
∴c=2．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA⇒a=

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

 =

c

sinC

⇒

a+c

sinA+sinC

=2…..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，斜率的數(shù)量積的應(yīng)用，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．