Question

如圖，已知長方體AC₁中，AB=BC=1，BB₁=2，連接B₁C，過B點作B₁C的垂線交CC₁于E，交B₁C于F
（1）求證：AC₁⊥平面EBD；
（2）求點A到平面A₁B₁C的距離；
（3）求直線DE與平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

解法一：
（1）證明：連接AC，則AC⊥DB，
∵AC是A₁C在平面ABCD內的射影，∴A₁C⊥BD
又∵A₁B₁⊥平面B₁C₁BC，
且A₁C在平面B₁C₁BC內的射影B₁C⊥BE
且BD∩BE=B，
∴A₁C⊥BE∴A₁C⊥平面EBD…（4分）
（2）解：∵AB平行于平面A₁B₁C，
所以點B到平面A₁B₁C的距離等于點A到平面A₁B₁C的距離
因為BF⊥平面A₁B₁C
所以BF為所求距離，…（9分）
（3）解：連接DF，A₁D，
∵EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，
∴EF⊥平面A₁B₁C，
∴∠EDF即為直線ED與平面A₁B₁C所成的角
由條件AB=BC=1，BB₁=2
可知
∴
∴…..（14分）
解法二：如圖建立空間直角坐標系．
（1）證明：B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0）
∴
∵，
∴，
∵BE∩DE=E
所以A₁C⊥平面EBD．…（4分）
（2）解：設平面A₁B₁C的一個法向量為m=（x，y，z）
則，
∴，
令z=1，得m=（0，2，1），
∵，
所以，所求的距離為…（9分）

（3）解：由（2）知，m=（0，2，1），
∵，
∴與m所成角為θ，
則
所以直線ED與平面A₁B₁C所成角的正弦值為…．（14分）
分析：法一：（1）連接AC，則AC⊥DB，由AC是A₁C在平面ABCD內的射影，知A₁C⊥BD．因為A₁B₁⊥平面B₁C₁BC，所以A₁C⊥BE．由此能夠證明A₁C⊥平面EBD．
（2）由AB平行于平面A₁B₁C，所以點B到平面A₁B₁C的距離等于點A到平面A₁B₁C的距離，由BF⊥平面A₁B₁C，知BF為所求距離，由此能求出結果．
（3）連接DF，A₁D，由EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，知EF⊥平面A₁B₁C，所以∠EDF即為直線ED與平面A₁B₁C所成的角．由條件AB=BC=1，BB₁=2，能求出直線DE與平面A₁B₁C所成角的正弦值．
法二：（1）分別以AB，AD，AA₁為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則，B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），由向量法能證明A₁C⊥平面EBD．
（2）設平面A₁B₁C的一個法向量為m=（x，y，z）則，所以m=（0，2，1），由此能求出點A到平面A₁B₁C的距離．
（3）由m=（0，2，1），，與m所成角為θ，由，能求出直線ED與平面A₁B₁C所成角的正弦值．
點評：本題考查直線與平面垂直的證明、點到平面的距離和直線與平面所成角的正弦值的求法，考查空間思維能力，考查運算求證能力，考查化歸轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．