Question

函數(shù)f（x）=|sinπx-cosπx|對(duì)任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₂-x₁|的最小值為（　　）

• A．

  3

  4

• B．1
• C．2
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：先將函數(shù)寫(xiě)出分段函數(shù)，再確定|x₂-x₁|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答：解：由題意，f（x）=|sinπx-cosπx|=|

2

（

2

2

sinπx-

2

2

cosπx）|=

2

|sin（πx-

π

4

）|，
它的周期為

1

2

×

2π

π

=1，最大值為

2

，最小值為0，f（x）的圖象如圖所示：
∵對(duì)任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，所以f（x₁）是最小值，f（x₂）是最大值．
|x₂-x₁|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值．
結(jié)合圖形可得，當(dāng)x=

1

4

時(shí)，函數(shù)取得最小值0，x=

3

4

時(shí)，函數(shù)取得最大值為

2

，
且此時(shí)|x₂-x₁|取得最小值為 

3

4

-

1

4

=

1

2

，
故選 D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，確定|x₂-x₁|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值是關(guān)鍵，
屬于中檔題．