Question

設函數f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜

π

2

，若cos

π

3

cosφ-sin

2π

3

sinφ=0，且圖象的一條對稱軸離一個對稱中心的最近距離是

π

4

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若A，B，C是△ABC的三個內角，且f（A）=-1，求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知等式化簡，得cos(

π

3

+φ)=0，結合φ的取值范圍算出φ=

π

6

．由對稱軸離一個對稱中心的最近距離得周期T=π，結合公式得出ω=2，從而得到函數f（x）的解析式；
（2）根據f（A）=-1，結合（1）的表達式及0＜A＜π，算出A=

2π

3

，從而B+C=

π

3

．將C=

π

3

-B代入并且化簡整理，得sinB+sinC=sin(B+

π

3

)，結合三角函數的圖象與性質，可得sinB+sinC的取值范圍．

解答：解：（1）∵cos

π

3

cosφ-sin

2π

3

sinφ=0
∴cos

π

3

cosφ-sin

π

3

sinφ=cos(

π

3

+φ)=0
∴

π

3

+φ=

π

2

+kπ，得φ=

π

6

+kπ，k∈Z
∵|φ|＜

π

2

，∴取k=0，得φ=

π

6

，…（3分）
∵函數f（x）圖象的一條對稱軸離一個對稱中心的最近距離是

π

4

，
∴周期為T=π，得ω=

2π

T

=2，得f(x)=sin(2x+

π

6

)．                                …（6分）
（2）由f（A）=-1，得sin(2A+

π

6

)=-1，
∵A是△ABC的內角，0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，得2A+

π

6

=

3π

2

，
∴A=

2π

3

，從而B+C=

π

3

．                …（9分）
由sinB+sinC=sinB+sin(

π

3

-B)=

3

2

cosB+

1

2

sinB
∴sinB+sinC=sin(B+

π

3

)，…（12分）
∵0＜B＜

π

3

，

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin(B+

π

3

)≤1，即sinB+sinC∈(

3

2

，1]．  
因此，sinB+sinC的取值范圍是（

3

2

，1]…（14分）

點評：本題給出函數y=Asin（ωx+φ）滿足的部分條件，要求確定其解析式并求函數值的取值范圍，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．